last_modified: 2026-01-09

1. ミクロのMD、マクロのSPH#

これまでの記事で扱った「分子動力学法（MD）」は、原子一つひとつがポテンシャル（引力・斥力）を感じて動くミクロな世界の話でした。

一方、私たちが普段目にするコップの水やエンジンのオイルは、無数の分子の集合体である 「連続体（Continuum）」 として振る舞います。これを記述するのが 流体力学 であり、その支配方程式が ナビエ・ストークス方程式 です。

今回は、このナビエ・ストークス方程式を「粒子」を使って解く手法、SPH法 (Smoothed Particle Hydrodynamics) を実装しました。 MDの粒子が「原子」であるのに対し、SPHの粒子は「流体の一部分（流体塊）」を表す計算点に過ぎないという点に注意してください。

2. 実験：粘性が世界を変える#

シミュレータの Fluid Type を切り替えるか、Viscosity スライダーを操作してみてください。

• Water (低粘度): $\mu \approx 0.5$。粒子はサラサラと流れ、容器の中で激しく波打ちます。運動量の拡散が遅いため、勢いがなかなか衰えません。
• Oil (高粘度): $\mu \approx 4.0$。動きが鈍くなり、しっとりとした挙動になります。隣り合う流体塊との摩擦（せん断応力）が強いため、乱流が抑えられます。
• Slime (超高粘度): $\mu > 8.0$。ほとんど個体のように振る舞い、一度形が変わると元に戻るのに時間がかかります。

3. 理論：ナビエ・ストークス方程式の離散化#

SPH法では、以下の非圧縮性ナビエ・ストークス方程式を解いています。

$\rho \frac{D \mathbf{v}}{Dt} = -\nabla P + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{F}_{\text{ext}}$

• $\rho$ (密度): 流体の混み具合。
• $-\nabla P$ (圧力勾配項): 「混んでいる場所から空いている場所へ」流体を押し出す力。MDの斥力に似ていますが、ここでは圧力差として計算されます。
• $\mu \nabla^2 \mathbf{v}$ (粘性項): 「ネバネバ」の正体。速度のラプラシアン（周囲との速度差の平均）に比例し、周囲の粒子と同じ速度になろうとする拡散の力として働きます。
  • 油 はこの項の係数 $\mu$ が大きい流体です。
• $\mathbf{F}_{\text{ext}}$ (外力項): 重力など。

SPHの魔法：カーネル関数#

SPHでは、ある地点の物理量（密度など）を、周囲の粒子の 重み付き平均（Smoothed） として計算します。

$A(\mathbf{r}) = \sum_j m_j \frac{A_j}{\rho_j} W(|\mathbf{r} - \mathbf{r}_j|, h)$

この $W$ がカーネル関数です。MDのように「隣の原子とぶつかる」のではなく、「影響範囲 $h$ 内の流体塊の平均をとる」ことで、連続的な流体の挙動を近似しているのです。

4. まとめ#

• MD: 原子間の $F = -\nabla V$ を解く（ミクロ）。
• SPH: 流体塊のナビエ・ストークス方程式を解く（マクロ）。

このシミュレータで見える「油の質感」は、分子間力の結果ではなく、マクロな物性値としての「粘性係数」を大きく設定した結果、流体塊同士が強くブレーキを掛け合っている様子なのです。