Reference Interaction Site Model (RISM) の理論的体系：分子性液体における統計力学と電子状態理論の融合

最終更新：2026-01-02

注意: この記事はGemini 3.0によって自動生成されたものです。記述の正確性および厳密性については、末尾に記載したChandler, Andersen, Hirata, Ten-no, Kovalenkoらの原著論文および関連する学術文献を参照し、確認してください。

序論：連続体モデルと原子論的シミュレーションの間隙#

溶液化学における理論的アプローチは、長らく二つの極端なモデルの二項対立の中にあった。一つは、溶媒を微視的な構造を持たない均一な誘電体として扱う「連続誘電体モデル（PCM等）」であり、もう一つは、全溶媒分子の座標と運動量を露わに扱う「分子動力学法（MD）またはモンテカルロ法（MC）」である。前者は計算効率に優れるが溶媒の局所構造（水素結合ネットワークなど）を記述できず、後者は詳細な微視的情報を提供するが計算コストが膨大であり、また自由エネルギー計算には熱力学的積分などの多大なサンプリングを要する。

Reference Interaction Site Model (RISM) は、これらの中間に位置する「積分方程式理論（Integral Equation Theory）」に基づく統計力学的手法である。RISMは、溶媒分子を相互作用点（サイト）の集合として定義し、それらの間の相関関数（動径分布関数）を決定する非線形方程式を解くことで、熱平衡状態における平均的な溶媒和構造と熱力学量を導出する。本稿では、RISM法の数理的基礎、量子化学との結合（RISM-SCF）、および3D-RISMへの発展について、その理論的枠組みを厳密に解説する。

1. 歴史的背景：単原子液体から分子性液体へ#

RISMの基礎は、液体の統計力学におけるOrnstein-Zernike (OZ) 方程式にある。

1.1 ChandlerとAndersenによる提唱 (1972)#

1972年、David ChandlerとHans C. Andersenは、それまでアルゴンなどの単原子液体（球対称ポテンシャル系）に限られていたOZ方程式の理論を、分子性液体（多原子分子系）へと拡張した。彼らは、分子を「硬い球（Hard Spheres）が結合した剛体」と見なし、分子間の相互作用を各構成原子（サイト）間の相互作用の和として表現することで、サイト間OZ方程式（Site-Site OZ Equation）を導出した。これがRISM方程式の原型である。この理論により、等核二原子分子などの構造因子や相関関数を解析的に扱う道が拓かれた。

1.2 極性液体への拡張とXRISM#

初期のRISMは主に短距離斥力を扱うモデルであったが、その後、Hirata, Rossky, Pettittらによって、クーロン相互作用を含む長距離力を扱うための拡張（Extended RISM, XRISM）がなされた。これにより、水のような極性溶媒やイオン溶液の構造記述が可能となり、化学への応用範囲が劇的に拡大した。

1.3 電子状態理論との結合：RISM-SCFの誕生 (1993-1994)#

1990年代初頭、Ten-no（天能精一郎）、Hirata（平田文男）、Kato（加藤重樹）らは、RISM理論をHartree-Fock法（および後のMCSCF等）と自己無撞着に結合させる RISM-SCF法 を確立した。従来のPCMでは「溶媒からの反作用場」を連続体の分極として扱っていたのに対し、RISM-SCFでは「溶媒の微視的な分布関数から生じる静電ポテンシャル」を溶質のハミルトニアンに取り込む。同時に、変化した溶質の電子密度（静電ポテンシャル）を用いてRISM方程式を解き直し、溶媒分布を更新する。この相互作用の自己無撞着なループにより、溶媒効果による電子状態の変化（分極）と、溶質電荷分布による溶媒構造の変化を同時に決定することが可能となった。

1.4 3次元分布への拡張：3D-RISM (1999)#

従来のRISM（1D-RISM）は、動径分布関数 $g(r)$ という距離のみの関数を出力とするため、球対称でない複雑な溶質分子の周囲の溶媒分布を記述するには、「サイト」ごとの平均化という近似が必要であった。KovalenkoとHirataは、溶質周囲の溶媒分布を3次元空間関数 $g(\mathbf{r})$ として扱う 3D-RISM を提案した。これにより、タンパク質の空洞内部の水分子や、複雑な界面における吸着構造などを、原子分解能で議論することが可能となった。

2. 数学的定式化#

RISMの理論体系は、Ornstein-Zernike方程式と、系を閉じるための近似式（Closure）から構成される。

2.1 Ornstein-Zernike (OZ) 方程式#

単原子液体において、2粒子間のトータル相関関数 $h(r_{12}) = g(r_{12}) - 1$ は、直接相関関数 $c(r_{12})$ を用いて以下のように定義される。

h(r_{12}) = c(r_{12}) + \rho \int c(r_{13}) h(r_{32}) d\mathbf{r}_3

ここで $\rho$ は液体の数密度である。この式は、「粒子1と2の相関 $h$ は、直接的な相互作用 $c$ と、第三の粒子3を介した間接的な相互作用の積算（畳み込み積分）の和である」と解釈される。

2.2 RISM方程式#

ChandlerとAndersenは、これを多原子分子系に拡張した。溶媒分子が複数の相互作用サイト（原子） $\alpha, \gamma$ から成るとし、分子内構造（サイト間距離の固定）を表す分子内相関関数を $\omega$ とする。RISM方程式は、通常、畳み込み積分が積になる波数空間（k空間）における行列形式で記述される。

\mathbf{\hat{H}}(k) = \mathbf{\hat{W}}(k) \mathbf{\hat{C}}(k) \mathbf{\hat{W}}(k) + \rho \mathbf{\hat{W}}(k) \mathbf{\hat{C}}(k) \mathbf{\hat{H}}(k)

あるいは、 $\mathbf{\hat{H}}$ について解いた形で：

\mathbf{\hat{H}}(k) = \mathbf{\hat{W}}(k) \mathbf{\hat{C}}(k) \mathbf{\hat{W}}(k) \left[ \mathbf{1} - \rho \mathbf{\hat{C}}(k) \mathbf{\hat{W}}(k) \right]^{-1}

ここで、各行列の要素は以下の通りである。

$\mathbf{\hat{H}}(k)$ : サイト間トータル相関関数行列 $[\hat{h}_{\alpha\gamma}(k)]$
$\mathbf{\hat{C}}(k)$ : サイト間直接相関関数行列 $[\hat{c}_{\alpha\gamma}(k)]$
$\mathbf{\hat{W}}(k)$ : 分子内相関行列 $[\hat{\omega}_{\alpha\gamma}(k)]$ 。剛体分子の場合、 $\hat{\omega}_{\alpha\gamma}(k) = \frac{\sin(k L_{\alpha\gamma})}{k L_{\alpha\gamma}}$ ( $L_{\alpha\gamma}$ はサイト間距離) で与えられる。

2.3 Closure（閉包）関係式#

RISM方程式には $h(r)$ と $c(r)$ という2つの未知関数が含まれるため、これだけでは解けない。これらを結びつけるもう一つの方程式として、ポテンシャルエネルギー $u(r)$ を含む近似式（Closure）が必要となる。

h(r) = \exp \left[ -\beta u(r) + h(r) - c(r) + B(r) \right] - 1

ここで $\beta = 1/k_B T$ である。 $B(r)$ はブリッジ関数と呼ばれ、厳密には無限級数だが、通常は以下の近似が用いられる。

Hypernetted-Chain (HNC) 近似: $B(r) = 0$ とする。 $c(r) = \exp[-\beta u(r) + \gamma(r)] - \gamma(r) - 1 \quad (\text{where } \gamma(r) = h(r) - c(r))$ 長距離クーロン相互作用を持つ系（イオン溶液など）に適しているが、解の収束性が悪い場合がある。
Percus-Yevick (PY) 近似: $c(r) = [ \exp(-\beta u(r)) - 1 ] [ \gamma(r) + 1 ]$ 短距離斥力系（ハードスフィア）に適している。
Kovalenko-Hirata (KH) 近似: HNCと平均場近似(MSA)を組み合わせたハイブリッド型。
$g(r) = \begin{cases} \exp[-\beta u(r) + \gamma(r)] & \text{for } g(r) \le 1 \\ 1 - \beta u(r) + \gamma(r) & \text{for } g(r) > 1 \end{cases}$
HNCにおける密度の過大評価（爆発）を防ぐため、分布関数が1を超える領域を線形化している。これにより数値的安定性が飛躍的に向上し、3D-RISMの実用化に大きく貢献した。

3. RISM-SCF法：電子状態との結合#

Ten-no, Hirata, Kato (1993) によって定式化されたRISM-SCF法では、溶媒和自由エネルギー $\Delta \mu$ を考慮した全自由エネルギー $A$ を定義し、これを変分的に最小化する。

A = E_{solute}[\Psi] + \Delta \mu

溶媒効果は、Fock演算子に対する付加的な摂動項 $V^{RISM}$ として現れる。

F_{\mu\nu} = F_{\mu\nu}^{gas} + \langle \mu | \hat{V}^{RISM} | \nu \rangle

V^{RISM}(\mathbf{r}) = \rho \sum_{s \in solvent} \int 4\pi r^{-1} g_{s}(\mathbf{r}, \mathbf{r}') q_s d\mathbf{r}'

ここで、溶質電子は、分布関数 $g_s$ に重みづけされた溶媒サイト電荷 $q_s$ からの静電ポテンシャルを感じる。通常のPCMと異なるのは、このポテンシャルが動径分布関数の詳細な構造（第一水和圏、第二水和圏のピークなど）を反映している点である。これにより、水素結合による局所的な電荷移動や分極効果を自然に取り込むことができる。

4. 数値計算上の困難性とその物理的理由#

RISM法は、PCMと比較して数値的に解（収束）を得ることが難しい場合が多い。その主な理由は、数学的特性および物理的背景の両面に存在する。

4.1 非線形方程式の反復解法における不安定性#

RISM方程式とClosureの連立系は、強い非線形性を持つ。通常、Direct Inversion in the Iterative Subspace (DIIS) やNewton-Raphson法を用いて反復計算を行うが、HNC近似における指数関数項 $\exp[-\beta u(r) + \gamma(r)]$ は、 $\gamma(r)$ のわずかな変動に対して値を急激に変化させる。特に、溶質と溶媒の原子が重なり合う（立体障害）領域や、強い静電引力が働く領域では、反復の過程で一時的に非物理的な高い密度が生じ、それが次のステップで過大な斥力を生むという発散（Numerical Explosion）を引き起こしやすい。KH近似はこの問題を緩和するが、それでも相転移点近傍などでは収束が困難になる。

4.2 感受率の増大と相転移#

物理的な観点からは、RISM方程式の解の分母に現れる項 $1 - \rho \hat{C}(k) \hat{W}(k)$ に注目する必要がある。液体系が気液相転移や相分離の臨界点に近づくと、等温圧縮率 $\chi_T$ などの熱力学的感受率が発散する。 RISMの形式において、これは分母がゼロに近づく（行列が特異になる）ことに対応する。実際の計算において、系が物理的に不安定な領域（例えば、疎水性溶質の周りでキャビティが崩壊して濡れ転移が起きる際など）にある場合、数値解もまた不安定化し、収束しなくなる。これはアルゴリズムの欠陥というよりは、系が本質的に持っている物理的ゆらぎの増大を反映している。

4.3 長距離相互作用の取り扱い#

クーロン相互作用 $u(r) \sim 1/r$ は長距離力であるため、そのままでは積分が収束しない、あるいはカットオフ依存性が生じる。これを回避するために、Ewald法のように短距離項と長距離項に分離し、長距離項をk空間で解析的に処理する（Renormalization）必要がある。この再規格化の手続きにおいて、溶媒全体の電荷中性条件の扱いや、誘電率のスクリーニング効果の記述に不整合が生じると、数値的な振動やアーティファクトの原因となる。

4.4 3D-RISMにおける計算コストとグリッド依存性#

3D-RISMでは、3次元FFTを用いて畳み込み積分を計算する。巨大なタンパク質などを扱う場合、必要なグリッド数は $100^3$ 〜 $500^3$ に達する。メモリ帯域の制約に加え、グリッド間隔が粗いと原子核近傍の急峻なポテンシャル変化を記述できず、エネルギー計算に大きな誤差（Grid artifact）が生じる。これを避けるためには極めて細かいグリッドが必要となり、収束までの反復回数も増大する傾向にある。

5. 実利的な成果と応用#

数値的な難しさにもかかわらず、RISM法はPCMでは到達できない多くの成果を上げている。

5.1 微視的溶媒和構造の解明#

PCMは溶媒分布を与えないが、RISMは原子レベルでの溶媒分布関数（RDF）を出力する。 Ten-noらの研究（1993, 1994）では、ホルムアルデヒドなどのカルボニル化合物周辺の水和構造を解析し、カルボニル酸素に対する水素結合の形成と、それに伴う溶質分子の分極（双極子モーメントの増大）を定量的に示した。また、励起状態における溶媒和構造の変化（リラクゼーション）によるストークスシフトの計算など、ダイナミクスへの足掛かりも築いた。

5.2 化学反応に伴う自由エネルギー変化#

RISMは溶媒和自由エネルギー $\Delta G$ を解析的な式（Closureに依存）で算出できる。

\Delta G = \rho k_B T \sum_\gamma \int d\mathbf{r} \left[ \frac{1}{2} (h_\gamma)^2 \Theta(-h_\gamma) - c_\gamma - \frac{1}{2} h_\gamma c_\gamma \right] \quad (\text{KH approx.})

この機能は、反応経路上の遷移状態における安定化エネルギーや、互変異性平衡、pKaの予測において強力なツールとなる。特に、特定の溶媒分子が反応に関与するような系（Explicit solventが必要な系）において、RISMはクラスターモデルよりも統計的に妥当な記述を与える。

5.3 界面および生体分子への応用#

Kovalenkoらの3D-RISMの発展により、金属表面-水界面における電気二重層の構造解析や、タンパク質内部のチャネルにおける水分子やイオンの透過性の解析が可能となった。3D-RISMは、MD法で数マイクロ秒かかるような水和分布の計算を、数十分〜数時間で完了できるため、創薬におけるドッキングシミュレーションのスコアリング関数としても利用が進んでいる（Gasteiger法など）。

6. 結論と展望#

Reference Interaction Site Model (RISM) は、分子性液体の統計力学理論として出発し、RISM-SCFおよび3D-RISMへの進化を経て、計算化学における強力なフレームワークへと成長した。PCMの「効率性」とMDの「微視的詳細さ」の間のギャップを埋めるこの手法は、溶媒の構造的性質が物性や反応を支配する系において、他には代えがたい知見を提供する。

数値的な不安定性やClosure近似の精度限界といった課題は依然として存在するが、KH近似や新たな汎関数理論（Free Energy Gradient法など）の導入、さらにはマルチグリッド法などによるアルゴリズムの高速化によって、その適用範囲は拡大し続けている。今後、電極界面反応やソフトマターの自己組織化など、複雑な不均一系に対する標準的な解析手法としての地位をさらに固めていくことが期待される。

参考文献#

Original RISM Formulation: D. Chandler and H. C. Andersen, Optimized Cluster Expansions for Classical Fluids. II. Theory of Molecular Liquids, J. Chem. Phys. 57, 1930 (1972).
RISM-SCF (Hybrid Approach): S. Ten-no, F. Hirata, and S. Kato, A hybrid approach for the solvent effect on the electronic structure of a solute based on the RISM and Hartree-Fock equations, Chem. Phys. Lett. 214, 391 (1993).
Application to Carbonyls: S. Ten-no, F. Hirata, and S. Kato, Reference interaction site model self-consistent field study for solvation effect on carbonyl compounds in aqueous solution, J. Chem. Phys. 100, 7443 (1994).
3D-RISM and KS-DFT: A. Kovalenko and F. Hirata, Self-consistent description of a metal-water interface by the Kohn-Sham density functional theory and the three-dimensional reference interaction site model, J. Chem. Phys. 110, 10095 (1999).
Review of RISM-SCF: F. Hirata (Ed.), Molecular Theory of Solvation, Kluwer Academic Publishers (2003).