【計算化学】GFN-xTB (Geometry, Frequency, Noncovalent Interaction - Extended Tight Binding) 法の数理的定式化と包括的評価：全元素対応型ロバスト量子化学計算の基盤

最終更新：2025-12-31

注意: この記事はAIによって自動生成されたものです。正確な数式やパラメータ定義については、必ず引用元の原著論文（S. Grimme, C. Bannwarth, and P. Shushkov, J. Chem. Theory Comput. 13, 1989 (2017)）をご確認ください。

序論：構造探索におけるロバスト性の追求とGFN-xTBの立ち位置#

量子化学計算において、分子構造の最適化（Geometry Optimization）は最も基本的かつ重要な手続きの一つである。密度汎関数法（DFT）や波動関数理論（WFT）は高いエネルギー精度を提供するが、その計算コストは原子数 $N$ に対して $O(N^3)$ から $O(N^7)$ で増大するため、数千原子からなる巨大分子や、数万点に及ぶ配座探索（Conformational Search）に適用することは現実的ではない。

一方で、従来の半経験的分子軌道法（MNDO, AM1, PMx系列）や古典力場（Force Fields）は高速であるが、パラメータ化されていない元素を含む系の記述が不可能であったり、電子状態の変化（結合の組み換えや電荷移動）を伴う現象に対して信頼性が低下したりするという課題があった。また、標準的なDFTB（Density Functional Tight-Binding）法は、原子ペアごとの反発ポテンシャル（Slater-Kosterファイル）を事前にフィッティングする必要があり、全元素の組み合わせを網羅することは実質的に困難であった。

こうした背景のもと、2017年にStefan Grimme、Christoph Bannwarth、Philip Shushkovらによって提案されたのが GFN-xTB (Geometry, Frequency, Noncovalent Interaction - Extended Tight Binding) 法である。特にその第一世代である GFN1-xTB は、以下の設計思想に基づいている。

Global Parameters: 元素ペアごとのパラメータ作成を廃し、原子ごとのパラメータのみを用いることで、周期表全体（ $Z=1 \sim 86$ ）への適用を可能にする。
Robustness: エネルギーの絶対値の精度よりも、極端に歪んだ構造や異常な配位環境においても計算が破綻せず、幾何学的に妥当な構造を与える「ロバスト性（堅牢性）」を最優先する。
Non-covalent Interactions: 分散力相互作用やハロゲン結合などを物理モデルとして明示的に組み込み、超分子や凝縮系の記述能力を担保する。

本稿では、GFN1-xTBの数理的構造、特にDFTB3の形式をどのように拡張・簡略化して全元素対応を実現したか、および分散力・ハロゲン結合補正の詳細について、数式レベルで詳細に解説する。

1. 数理的背景：GFN1-xTBハミルトニアンの導出#

GFN-xTBは、理論的にはDFTB3（3次摂動展開密度汎関数タイトバインディング法）の変種とみなすことができる。しかし、そのパラメータ化のアプローチは従来のDFTBとは一線を画している。DFTBがDFT計算結果へのフィッティングに依存するのに対し、GFN-xTBは原子の物理定数（イオン化ポテンシャル、電気陰性度、共有結合半径など）からハミルトニアンを構築する。

1.1 エネルギー汎関数の構成#

GFN1-xTBにおける総エネルギー $E_{tot}$ は、以下の項の和で表される。

E_{tot} = E_{elec}^{(0)} + E_{SCC} + E_{rep} + E_{disp} + E_{hal}

ここで、

$E_{elec}^{(0)}$ : 0次の電子エネルギー（バンド構造エネルギー）。
$E_{SCC}$ : 電荷の自己無撞着（SCC）エネルギー項（2次および3次の静電相互作用）。
$E_{rep}$ : 斥力ポテンシャル（Repulsive Potential）。
$E_{disp}$ : 分散力補正（D3-BJ）。
$E_{hal}$ : ハロゲン結合補正（XB）。

1.2 0次ハミルトニアンと重なり行列#

基底関数として、原子価電子に対して最小基底（minimal basis）のSlater型軌道（STO）を採用する。

\phi_{\mu}(\mathbf{r}) = N Y_{l,m}(\theta, \phi) r^{n_{eff}-1} e^{-\zeta r}

ここで $\zeta$ は軌道指数であり、GFN1-xTBでは原子番号や主要量子数に依存する大域的なルールに基づいて決定される。

重なり行列 $S_{\mu\nu}$ #

重なり行列 $S_{\mu\nu} = \langle \mu | \nu \rangle$ は、STOを用いて解析的に計算される。従来のDFTBのようにDFT計算からフィッティングするのではなく、純粋なSTOの重なりを用いる点が特徴である。これにより、任意の元素ペアに対して即座に計算が可能となる。

ハミルトニアン行列要素 $H_{\mu\nu}^{(0)}$ #

0次ハミルトニアン（参照ハミルトニアン）は、半経験的手法の伝統的なWolfsberg-Helmholtz近似の改良版を用いる。

対角項（On-site terms）: 対角項 $H_{\mu\mu}$ は、原子の原子価状態イオン化ポテンシャル（ $I_{at}$ ）に関連付けられるが、GFN1-xTBではMullikenの電気陰性度に近い値としてパラメータ化されている。

H_{\mu\mu} \approx -I_{\mu}^{atom}

非対角項（Off-diagonal terms）: 異なる原子間の共鳴積分 $H_{\mu\nu}$ ( $\mu \in A, \nu \in B$ ) は以下のように定義される。

H_{\mu\nu}^{(0)} = K_{\mu\nu} S_{\mu\nu} \left( \frac{H_{\mu\mu} + H_{\nu\nu}}{2} \right)

ここで $K_{\mu\nu}$ はスケーリング係数であり、GFN1-xTB独自の距離依存性を持つ。

K_{\mu\nu} = K_{AB} \left( 1 + (\kappa_{AB} R_{AB})^n \right)^{-1/n}

この距離依存性は、原子間距離 $R_{AB}$ が短くなった際に、核間反発を適切に表現し、電子エネルギーの過度な低下（collapse）を防ぐために導入されている。ここで $\kappa_{AB}$ や $n$ は原子の特性に基づくグローバルパラメータである。

1.3 電荷自己無撞着項（SCC項）#

静電相互作用エネルギーは、DFTB3の形式を踏襲し、密度揺らぎ（原子部分電荷 $q_A$ ）の3次までを考慮する。

E_{SCC} = \frac{1}{2} \sum_{A,B} q_A q_B \gamma_{AB}^{mod} + \frac{1}{3} \sum_A q_A^3 \Gamma_A

ここで重要なのが、 $\gamma_{AB}$ 行列（静電ポテンシャル）の定義である。GFN1-xTBでは、原子の配位数（Coordination Number, CN）に依存して原子の「大きさ」あるいは「化学的硬さ」が変化するという物理モデルを導入している。

配位数依存のHubbardパラメータ#

原子 $A$ のHubbardパラメータ $U_A$ （化学的硬さ、オンサイト反発）は以下のようにスケーリングされる。

U_A(CN) = U_A^{atom} + \Delta U_A^{CN} \cdot f(CN_A)

ここで $CN_A$ は原子Aの幾何学的な配位数（Fermi-Dirac関数等を用いた連続的なカウント）である。配位数が高いほど電子雲が広がり（あるいは分極しやすくなり）、実効的な硬さが低下する（あるいは変化する）効果を取り入れている。これにより、気相の孤立原子からバルク固体まで、多様な環境下での電荷分布を柔軟に記述できる。

減衰型 $\gamma$ 関数#

異核原子間の相互作用 $\gamma_{AB}$ には、短距離での過剰な静電引力を防ぐために、Ohno-Klopman型またはMataga-Nishimoto型の減衰関数が用いられる。

\gamma_{AB} = \frac{1}{\sqrt{R_{AB}^2 + (R_A^{cov} + R_B^{cov})^{-2 \eta}}}

GFN1-xTBでは、この関数の具体的な形状もパラメータとして大域的に最適化されている。

1.4 解析的斥力項 $E_{rep}$ #

従来のDFTBにおいて、斥力項 $E_{rep}$ はDFT計算結果に対するスプライン補間で決定される「ペアワイズな経験項」であった。しかし、これでは全元素ペアに対するパラメータを用意することが不可能である。GFN1-xTBはこの問題を解決するために、解析的な斥力関数を導入した。

E_{rep} = \sum_{A<B} V_{rep}^{AB}(R_{AB})

この $V_{rep}^{AB}$ は、原子の有効核電荷 $Z_{eff}$ と原子半径 $R_{cov}$ に基づく物理モデルから構築される。

V_{rep}^{AB}(R) = \frac{Z_{eff}^A Z_{eff}^B}{R} e^{-\alpha_{AB} R}

ここでの減衰係数 $\alpha_{AB}$ は、各元素に対して定義された単一の値から、単純な混合則（Mixing Rules、例えば調和平均など）を用いて生成される。このアプローチにより、未知の元素ペア（例えばテクネチウムとヒ素の結合など）であっても、個別のフィッティングなしに妥当な斥力ポテンシャルを生成することが可能となった。

2. 非共有結合相互作用の補正：分散力とハロゲン結合の詳細#

GFN-xTBの名称にある “N” (Noncovalent) は、半経験的手法が伝統的に苦手としてきた弱い相互作用を、物理ベースの補正項で強力にサポートすることを意味している。ここでは、これらの補正項の物理的背景と数理的構造について詳述する。

2.1 D3-BJ 分散力補正 (Dispersion Correction)#

半経験的手法や標準的なDFTは、長距離の電子相関（ロンドン分散力）を記述できない。GFN1-xTBでは、Grimmeらが開発した D3分散力補正 に Becke-Johnson (BJ) ダンピング を組み合わせたモデルを採用している。

数理的定式化#

分散力エネルギー $E_{disp}$ は、原子ペアごとの $C_6$ および $C_8$ 係数を用いた逆べき乗則の和として表される。

E_{disp}^{D3-BJ} = - \frac{1}{2} \sum_{A \neq B} \left( s_6 \frac{C_6^{AB}}{R_{AB}^6 + f_{damp,6}(R_{AB})} + s_8 \frac{C_8^{AB}}{R_{AB}^8 + f_{damp,8}(R_{AB})} \right)

ここで、 $s_6, s_8$ は全体のスケーリング係数である。

配位数依存の分散係数#

重要な点は、分散係数 $C_6^{AB}$ が定数ではなく、原子の化学的環境（配位数 $CN$ ）に依存して動的に決定されることである。

C_6^{AB}(CN_A, CN_B) = \frac{3}{2} \frac{\alpha^A(CN_A) \alpha^B(CN_B) I_r^A(CN_A) I_r^B(CN_B)}{I_r^A(CN_A) + I_r^B(CN_B)}

（※ Casimir-Polder積分に基づく近似式）ここで $\alpha$ は動的分極率、 $I_r$ はイオン化ポテンシャルに関連する量である。GFN-xTB内では、幾何構造から計算された $CN$ を用いて、参照となるDFT計算から事前に補間された $C_6$ 値を使用する。これにより、例えば $sp^3$ 炭素と $sp^2$ 炭素の分散力の違いなどを自然に取り込むことができる。

Becke-Johnsonダンピング#

BJダンピングは、短距離領域において分散力項が発散するのを防ぐだけでなく、斥力的に振る舞う中距離領域での電子相関の効果を物理的に妥当な形で記述する。

f_{damp,n}(R_{AB}) = (a_1 R_0^{AB} + a_2)^n

このダンピング関数により、分散力補正は共有結合距離付近でも悪影響を及ぼさず、ファンデルワールス錯体の平衡距離を正確に再現する。

2.2 ハロゲン結合補正 (XB Correction)#

ハロゲン結合（Halogen Bonding, XB）は、ハロゲン原子（Cl, Br, I）の先端部分に生じる正の静電ポテンシャル領域（ $\sigma$ -hole）と、ルイス塩基（O, N等の孤立電子対）との間の引力的相互作用である。標準的な等方的な点電荷モデル（Mulliken電荷など）では、ハロゲン原子は全体として負に帯電しているため、この異方的な引力を記述できず、逆に静電反発として誤評価してしまう。

異方性の導入：仮想電荷モデル#

GFN1-xTBでは、この $\sigma$ -hole を記述するために、ハロゲン原子 $X$ の結合軸上に仮想的な正電荷（Positive Point Charge）を配置するモデルを採用している。

E_{hal} = \sum_{X \in \text{halogen}} \sum_{B \in \text{nucleophile}} E_{XB}(X, B)

具体的な補正ポテンシャルは以下のように設計されている：

ハロゲン原子 $X$ に結合している原子 $R$ との結合ベクトル $\mathbf{v}_{RX}$ を定義する。
このベクトルの延長線上（ $\sigma$ -holeの位置）に、経験的な正の点電荷 $q_{hole}$ を配置したとみなす。
この $q_{hole}$ と、近接する求核原子 $B$ （O, N, Sなど）の間の静電相互作用および減衰項を計算する。

E_{XB} \propto - f_{geom}(\theta) \frac{q_{hole} q_B}{R_{XB}}

ここで $f_{geom}(\theta)$ は角度依存項であり、結合角 $\angle R-X \cdots B$ が180度に近い（直線配置）場合にのみ引力が働くように制限する。これにより、ハロゲン結合の強い方向依存性を低コストで再現することに成功している。この補正は、創薬化学において重要なハロゲン化合物のドッキングシミュレーションなどで威力を発揮する。

3. 定量的な性能評価と他手法との比較#

GFN1-xTBの性能は、広範なベンチマークセットを用いて検証されている。ここでは、代表的な半経験的手法（PM7, OMx, DFTB3）との比較において、どの程度の改善が見られるかを定量的に示す。

3.1 幾何構造の再現性 (Geometries)#

共有結合長、結合角、回転角の再現性について、高精度DFT（PBEh-3c等）を参照値とした評価が行われた。

結合長 (Bond Lengths):
- GFN1-xTBの平均絶対偏差 (MAD) は、軽元素（H-Ne）において 0.01-0.02 Å 程度であり、これはPM7と同等か、系によってはわずかに優れている。
- 重元素（遷移金属等）を含む系においても、破綻することなく妥当な構造を与える（“Good enough” geometries）。PM7が収束に失敗するような複雑な金属錯体でも、GFN1-xTBは安定して構造最適化が可能である。
回転角 (Rotational Constants):
- 大規模な有機分子セットにおいて、慣性モーメント（回転定数）の誤差は 1-2% 程度に収まる。これは、分子全体のサイズや形状が正確に予測できていることを示唆する。

3.2 非共有結合相互作用 (Non-covalent Interactions)#

S66データセット（水素結合、分散力、混合系の66複合体）およびL7データセット（大規模な分散力支配系）を用いた結合エネルギーの評価において、GFN1-xTBは顕著な優位性を示した。

S66 データセット (kcal/mol):
- PM6: MAD $\approx$ 2.5 - 3.0 (分散力補正なしでは大きく過小評価)
- PM7: MAD $\approx$ 1.0 (改善されたが、依然としてばらつきがある)
- GFN1-xTB: MAD $\approx$ 0.5 - 0.8
- D3-BJ補正の効果により、水素結合系だけでなく、ベンゼン二量体のような積層構造（ $\pi$ - $\pi$ スタッキング）においてもDFTに近い精度を達成している。
L7 データセット (大規模系):
- PM6や標準的なDFTB3は、大きな分散力を伴う系（例えばサーカムコロネンとグラフェンの相互作用など）において、結合エネルギーを数 kcal/mol から 10 kcal/mol 単位で誤ることがある。
- GFN1-xTBは、これらの系においても 1-2 kcal/mol 程度の誤差範囲で結合エネルギーを予測可能である。

3.3 振動数と熱化学 (Frequencies & Thermochemistry)#

調和振動数: GFN1-xTBで計算された振動数は、実験値やDFT計算値に対して系統的なずれを持つが、適切なスケーリング因子（約0.9-1.0の範囲）を用いることで、IRスペクトルの主要なピーク位置を定性的に再現できる。
反応熱: 生成熱などの絶対値に関しては、PM7のような「生成熱フィッティング」を行った手法に分がある場合がある。GFN1-xTBは構造と相対エネルギー（配座エネルギー）のロバスト性を重視しているため、反応熱の絶対値計算には慎重な検証が必要である（誤差は 5-10 kcal/mol 程度になることもある）。しかし、異性体間のエネルギー差（ランキング）においては高い信頼性を持つ。

4. 結論#

GFN1-xTBは、半経験的量子化学計算の手法において、「パラメータフィッティングの呪縛」から脱却し、「物理ベースのモデル構築」へと回帰したマイルストーンである。数理的には、DFTB3の3次摂動形式に、STO重なり積分と解析的斥力項、そして配位数依存のパラメータモデルを融合させたものである。この設計により、全元素対応という汎用性と、構造探索に不可欠なロバスト性を同時に実現した。

特に、分散力補正（D3-BJ）とハロゲン結合補正（XB）の明示的な導入は、従来の半経験的手法が苦手としていた超分子化学や結晶工学の分野においても、GFN-xTBを信頼性の高いツールへと押し上げた。定量的なベンチマークにおいても、特に非共有結合相互作用のエネルギー記述において、既存のPM7やDFTB3を凌駕する性能を示している。

現代の計算化学ワークフローにおいて、GFN-xTBは「DFT計算の前処理」あるいは「広大なケミカルスペースのスクリーニング」のための標準ツールとして確固たる地位を築いている。

参考文献#

S. Grimme, C. Bannwarth, and P. Shushkov, “A Robust and Accurate Tight-Binding Quantum Chemical Method for Structures, Vibrational Frequencies, and Noncovalent Interactions of Large Molecular Systems Parametrized for All spd-Block Elements ( $Z=1-86$ )”, J. Chem. Theory Comput. 13, 1989-2009 (2017).
P. Pracht, F. Bohle, and S. Grimme, “Automated exploration of the low-energy chemical space with fast quantum chemical methods”, Phys. Chem. Chem. Phys. 22, 7169-7192 (2020).