最終更新：2025-12-28

注意: この記事はAIによって自動生成されたものです。正確な情報については、必ず引用元の原著論文をご確認ください。

はじめに：SCANが抱えていた「ジレンマ」#

2015年に発表されたSCAN (Strongly Constrained and Appropriately Normed) 汎関数は、計算コストを抑えつつ高精度を実現する「メタGGAの決定版」として大きな注目を集めました。しかし、実用面ではある重大な欠点を抱えていました。

それは、「数値積分グリッドに対して極めて敏感である」 という点です。 SCANを使って構造最適化や振動解析を行うと、エネルギーの微分が不安定になり、計算が収束しなかったり、異常に時間がかかったりするケースが多発しました。

本稿では、2020年に発表された改良版である r²SCAN (regularized-restored SCAN) が、この問題を数学的にどう解決したのか、その「数式のトリック」を解説します。

1. SCANの弱点：数値的不安定性の正体#

SCANの不安定さの原因は、物理的な厳密さを追求するあまり導入された、等軌道指示子（Iso-orbital indicator） $\alpha$ の扱いにありました。

• $\tau$: 運動エネルギー密度
• $\tau_W$: フォン・ヴァイツゼッカー運動エネルギー密度（単一軌道極限）
• $\tau_{\text{unif}}$: 均一電子ガスの運動エネルギー密度

SCANは、$\alpha=1$（均一電子ガス極限）において、交換・相関エネルギーの補正関数 $f(\alpha)$ の導関数がゼロになる（$df/d\alpha = 0$）ように設計されています。 しかし、これを満たすために導入されたスイッチング関数が、$\alpha=1$ 付近で数値的に「平坦かつ特異」な挙動を示し、これが数値積分におけるスパイクノイズ（グリッド問題）を引き起こしていました。

2. rSCANの試みと限界：「正則化」の代償#

この問題を解決しようとしたのが rSCAN (regularized SCAN) です。rSCANのアプローチは、関数を滑らかにする「正則化（Regularization）」でした。

rSCANの指示子 $\tilde{\alpha}$:

分母に正則化定数 $\tau_r$ を加えて発散を防ぎ、さらにスイッチング関数を滑らかな多項式に置き換えました。 これにより数値安定性は劇的に向上しましたが、副作用として物理的な厳密さが失われました。滑らかにしたことで $\alpha=1$ での導関数がゼロにならなくなり、勾配展開の第2次項（GE2）などの厳密な拘束条件を満たせなくなってしまったのです。その結果、原子化エネルギーなどの精度がSCANより悪化してしまいました。

3. r²SCANの解決策：「正則化」＋「復元」の数理#

r²SCAN (regularized-restored SCAN) の核心は、rSCANで導入した「滑らかさ」を維持しつつ、数式に補正項を加えることで、失われた「厳密な拘束条件」を強制的に満たし直す（Restore）点にあります。

(1) 新しい指示子 $\bar{\alpha}$ の採用#

r²SCANでは、rSCANともSCANとも異なる、新しい正則化された指示子 $\bar{\alpha}$ を採用します。

ここで $\eta = 10^{-3}$ です。分母に定数ではなく $\tau_W$ を混ぜることで、低密度領域での発散を防ぎつつ、正しいスケーリング則を維持しています。

(2) 交換エネルギー項の補正（GE2Xの復元）#

rSCANで失われた「勾配展開の第2次項（GE2X）」を回復するために、交換エネルギー密度に関わる関数 $x(p)$ を以下のように修正しました。

一見複雑ですが、この式の目的はシンプルです。補間関数の $\bar{\alpha}=1$ における導関数がゼロでないことに起因する「誤った寄与」を、この項が**ちょうど打ち消す（cancel out）**ように係数 $C_{2x}$ 等が決定されています。

(3) 相関エネルギー項の補正（GE2Cの復元）#

相関エネルギーについても同様に、補正項 $\Delta y$ を導入して、勾配展開（GE2C）を復元しています。

ここで $\Delta y$ は、$\bar{\alpha} \to 1$ での誤った寄与を相殺するために導入された新しい項です。

まとめ#

r²SCANは、以下のロジックで構築された「いいとこ取り」の汎関数です。

1. Regularized (正則化): 数値安定性のために、関数を滑らかな多項式にする（→ グリッド問題の解決）。
2. Restored (復元): 滑らかにしたことで壊れた物理法則（GE2などの勾配展開）を、補正項を加えて人工的に修復する（→ SCAN並みの精度の維持）。

論文中の図（Figure 3など）では、SCANで見られたポテンシャルの激しい振動が、r²SCANでは完全に消えて滑らかになっていることが示されています。これにより、r²SCANは**「SCANの高精度」と「GGAの高速・安定計算」**を両立させることに成功し、現在の標準的なメタGGA汎関数の地位を確立しました。

参考文献#

• J. W. Furness, A. D. Kaplan, J. Ning, J. P. Perdew, and J. Sun, “Accurate and Numerically Efficient r²SCAN Meta-Generalized Gradient Approximation”, J. Phys. Chem. Lett. 11, 8208–8215 (2020).