2009年にYing Zhang, Xin Xu, William A. Goddard IIIによって提案されたXYG3（Xu-Ying-Goddard 3-parameter）汎関数について詳細に解説する。従来の二重混成汎関数（B2PLYP）が半経験的なフィッティングに依存していたのに対し、XYG3は断熱接続公式とGörling-Levy摂動論（GLPT）に基づく厳密な理論的枠組みから出発し、B3LYP軌道を用いたPT2相関エネルギーの計算という独自のアプローチを採用した。その数理的背景、パラメータ決定のロジック、および熱化学、反応速度論、非共有結合相互作用における卓越した成果について、原著論文に基づき学術的観点から深掘りする。

2010年にStefan Grimme、Jens Antony、Stephan Ehrlich、Helge Kriegによって確立されたDFT-D3法を中心に、密度汎関数法（DFT）における分散力補正の決定版であるDFT-Dシリーズについて解説する。Kohn-Sham DFTが原理的に抱える長距離電子相関（ロンドン分散力）の欠落という課題に対し、Casimir-Polderの式に基づく第一原理的なC6係数の導出、配位数依存性による幾何学的環境の反映、そして減衰関数による短距離接合の数理的背景を詳細に紐解く。D1、D2からの歴史的進化と、原子番号94（Pu）までの全元素対応を実現したパラメータ化の戦略、および熱化学・超分子化学における実利的な成果を、原著論文に基づき学術的観点から深掘りする。

Stefan GrimmeとEike Caldeweyherらによって確立されたDFT-D4モデル（2017年, 2019年）について、その理論的背景と数理的導出を詳細に解説する。従来のDFT-D3モデルが幾何学的配位数に依存していたのに対し、D4モデルは原子部分電荷（Partial Charge）を導入することで、電子状態の変化に伴う分散力の変動を記述可能にした。電気陰性度等化法（EEQ）による電荷算出、動的分極率のスケーリング、Casimir-Polder積分によるC6係数のオンザフライ計算、そして多体相互作用項の実装に至るまで、プログラム実装が可能なレベルで数式を網羅する。また、金属錯体や立体障害のある系における実利的な成果についても、原著論文に基づき学術的観点から深掘りする。

密度汎関数法の第五の階層、二重混成汎関数について解説する。Hartree-Fock交換とMP2摂動論による相関エネルギーを同時に取り込むこの手法は、計算コストの増大と引き換えに精度を高められることを期待している。2004年のTruhlarによる着想からGrimmeによるB2PLYPの実用化、そして最新のDSD（Double Spin-Dependent）や長距離補正型に至るまで、主要な汎関数の特徴と対応する原著論文を網羅的に示す。

1997年にCarlo AdamoとVincenzo Baroneによって提案されたB1LYP汎関数について、その理論的背景と数理的構造を詳細に解説する。Beckeの3パラメータ混成汎関数（B3LYP）が経験的フィッティングに依存していたのに対し、B1LYPはいかにして摂動論的考察からHartree-Fock交換混合率（0.25）を導出したのか。その設計思想、B3LYPとの構造的差異、および化学的精度における成果を原著論文に基づき学術的に紐解く。

Axel D. Beckeが1996年に提案したB1B95汎関数について解説する。3パラメータ混成（B3LYP）の成功を経て、なぜBeckeは「1パラメータ」へと回帰したのか。運動エネルギー密度を用いたB95相関汎関数の数理的導出、自己相互作用フリーな相関の設計、そして静的相関と動的相関の分離という理論的野心を、原著論文に基づき詳細に紐解く。

現代量子化学においてデファクトスタンダードとして長年君臨してきたB3LYP汎関数。その設計思想である「断熱接続（Adiabatic Connection）」の概念、Beckeによる3パラメータ形式の導出、そしてStephensらによるLYP相関の導入という歴史的経緯を、原著論文に基づき数理的に紐解く。

B3LYPと共通点のあるBeckeの3パラメータ混成汎関数「B3P86」について解説する。Becke 88交換とPerdew 86相関を、断熱接続公式に基づく半経験的パラメータで結合したこの汎関数の数理的構造を、Perdewによる相関エネルギーの勾配展開近似（GGA）の導出過程を含めて詳細に紐解く。